помогите ПЛИЗ!! y=x^4-5x^2+4 –полное исследование функции и построение графика

Вопрос пользователя:

помогите ПЛИЗ!! y=x^4-5x^2+4 –полное исследование функции и построение графика

Илюха отвечает:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.
2. Функция непериодическая.
3. Исследуем данную функцию на четность или нечетность.
y(-x)=(-x)^4-5(-x)^2+4=x^4-5x^2+4=y(x)

Поскольку y(-x)=y(x), то функция является чётной по определению.

4. Найдем точки пересечения с осями координат.
   4.1. точки пересечения с осью абсцисс(то есть, принимаем у=0)
x^4-5x^2+4=0
Решая это уравнение как квадратное уравнение относительно x^2
displaystyle  left[begin{array}{ccc}x^2=4\ x^2=1end{array}right~~~~Rightarrow~~~~left[begin{array}{ccc}x_{1,2}=pm2  x_{3,4}=pm1end{array}right

(pm2;0),~~(pm1;0) – точки пересечения с осью Ох.

  4.2. точки пересечения осью ординат(то есть, принимаем х=0)
y=0^4-5cdot 0^2+4=4

(0;4) – точки пересечения с осью Оу.

5. Исследуем теперь на монотонность:
y'=(x^4-5x^2+4)'=(x^4)'-(5x^2)'+(4)'=4x^3-10x y'=0;~~ 4x^3-10x=0 2x(2x^2-5)=0;~~~Rightarrow~~~left[begin{array}{ccc}x_1=0;  x_{2,3}=pm dfrac{sqrt{10}}{2} end{array}right

6. Точки перегиба.
y''=(4x^3-10x)'=(4x^3)'-(10x)'=12x^2-10  y''=0;~~~ 12x^2-10=0;  x=pm dfrac{ sqrt{30} }{6}

Горизонтальной, наклонной и вертикальной асимптот нет.

Таблица и график смотреть во вложении.

Добавить свой ответ