Вопрос от посетителя:
Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить площадь круга, если угол при основании трапеции равен 30 градусов.
Илюха отвечает:
Пусть имеем трапецию ABCD, AB=CD, AD>BC
C вершин трапеции B и C на AD опустим высоты BK и CL соответственно
Так как трапеция описана около круга, то высота трапеции равна 2r,то есть BK=CL=2r
Из треугольника ABK, имеем
tg(A)=BK/AK => AK=BK/tg(30°)=2r : 1/sqrt(3)=2sqrt(3)r
AK=LD= 2sqrt(3)r
BC=2r, так как окружность вписана в трапецию
AD=AK+LD+KL=2sqrt(3)r+2sqrt(3)r+2r=4sqrt(3)r+2r
Sтр=(BC+AD)*BK/2
S=(2r+4sqrt(3)r+2r)*2r/2
S=r^2(4+4sqrt(3)) => r^2=S/(4+4sqrt(3))
Площадь круга равна
S=pi*r^2
S=S*pi/(4+4sqrt(3))