Вопрос для Илюхи:
Найти точки экстримума функции Z=27x^2+9xy^2-27x+2y^3
Илюха-Отвечает:
Находим стационарные точки
1) z'(x) = 0, z'(x)= 54x + 9y^2 -27
2) z'(y) = 0, z'(y) = 18xy + 6y^2 = 6y(3x + y) => y = 0 или 3x + y = 0 =>
1)a) подставляем y = 0 в первое: 54x – 27 = 0; x = 0,5
1)б) решаем систему из 54x + 9y^2 -27 = 0 и 3x + y = 0, из второго выражаем y: y = -3x и подставляем в первое: 54x + 81x^2 – 27 = 0 => x1 = -1, x2 = 1/3; y1 = 3, y2 = -1.
М1(0,5;0), М2 (-1; 3), M3 (1/3;-1).
z”(x) = 54
z”(xy) = 18y
z”(y) = 18x + 12y
1) Берем М1: z”(x)|M1 = 54 = A1; z”(xy)|M1 = 0 = B1; z”(y)|M1 = 9 = C1; D1 = A1C1 – B1^2 = 486 => D1 > 0, A1 > 0 => M1 – минимум
2) 1) Берем М2: z”(x)|M2 = 54 = A2; z”(xy)|M2 = 54 = B2; z”(y)|M2 = 18 = C2; D2 = A2C2 – B2^2 = -1944 => D2 < 0 => в M2 экстремума нет
3) Берем М3: z”(x)|M3 = 54 = A3; z”(xy)|M3 = -18 = B3; z”(y)|M3 = -6 = C3; D3 = A3C3 – B3^2 = -648 => D3 < 0 => в M3 экстремума нет