Вопрос от посетителя:
В угол 60 градусов вписана окружность.Окружности пренадлежит точка,которая лежит на растоянии 1 от одной стороны угла и 4 от другой стороны угла. найдите радиус вписанной окружности
Илюха отвечает:
ВАС = 60 гр. АО – биссектриса, О – центр впис. окр-ти. В и С – точки касания.
Пусть точка К прин окр-ти и: КМ перп АС, КМ = 1, KN перп АВ, KN = 4
В прямоугольной трапеции СОКМ: ОС = ОК = r, КМ = 1
Проведем высоту КР на основание ОС. ОР = ОС – КМ = r – 1
Тогда из пр. тр-ка КОР:
КР = кор(ОК^2 – OP^2) = кор(r^2 – (r-1)^2) = кор(2r-1).
КР = СМ = кор(2r-1).
АМ = АС + СМ = rкор3 + кор(2r-1) (т.к. АС = r/tg30 из тр. АОС)
Теперь проведем АК.
Из тр. АКМ : AK = 1/sina, где а – угол КАМ
Из тр. NAK : АК = 4/sin(60-a)
Приравняв, получим:
sin(60-a) / sina = 4, или раскрыв синус разности и поделив почленно:
(кор3)ctga – 1 = 8 ctga = 3кор3
Но из тр-ка АКМ:
ctga = AM/MK = rкор3 + кор(2r-1)
Приравняем и получим:
(3-r)кор3 = кор(2r-1). 1 3r^2 – 20r + 28 = 0 D = 64 r = 2 (другой корень >4) Ответ: 2