Вопрос от посетителя:
В треугольнике DEF EF=8, ED=17. Найдите площадь треугольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону FD, и точку пересечения высот треугольника можно провести по крайней мере две различные плоскости;
б) через медиану DK и центр вписанной в треугольник окружности можно провести по крайней мере две различные плоскости;
в) существует прямая, не лежащая в плоскости DEF, пересекающая биссектрису DK и содержащая центр окружности, описанной около треугольника KFD
Илюха отвечает:
а) Из условия имеем, что точка пересечения высот лежит на FD. Это может быть только если тр-к DFE – прямоугольный, угол F = 90 гр.
Найдем катет FD:
FD = кор(17^2 – 8^2) = 15
Площадь: S = 8*15/2 = 60
б) Из условия имеем, что DK – и биссектриса и медиана. Значит DEF – равнобедренный. DF = DE = 17, EF = 8
Полупериметр: р = (8+17+17)/2 = 21
Площадь:
S = кор(21*13*4*4) = 4кор273 (примерно 66)
в) Из условия имеем, что биссектриса DK является еще и срединным перпендикуляром. Значит треугольник DEF – равнобедренный. DE= DF=17
Далее решение аналогично п.2.
Ответ: 4кор273 = 66 (примерно).
P.S. В 1) и 2) мы воспользовались тем, что прямая и точка, не прин. этой прямой – задают плоскость и притом только одну. Если же говорят о 2 и более плоскостях, значит точка лежит на этой прямой. В 3) мы воспользовались утверждением, что прямая может пересечь плоскость только в одной точке.