Верно ли утверждение? 1) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то этот четырехугольник – ромб. 2) Центр окружности, описанной вокруг треугольника, не может лежать на его стороне. 3) Треугольник со сторонами корень а, корень b и корень а+b  – всегда прямоугольный. 4) Существует треугольник, в котором любая из высот меньше любой из медиан.

Вопрос пользователя:

Верно ли утверждение?
1) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то этот четырехугольник – ромб.

2) Центр окружности, описанной вокруг треугольника, не может лежать на его стороне.

3) Треугольник со сторонами корень а, корень b и корень а+b  – всегда прямоугольный.

4) Существует треугольник, в котором любая из высот меньше любой из медиан.

Илюха отвечает:

1) Неверно. Это может быть дельтоид. Ещё может быть трапеция с перпендикулярными диагоналями. Если диагонали параллелограмма
перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб, но в условии дан произвольный
четырёхугольник, а не параллелограмм. 

2) Неверно. Центр описанной около прямоугольного
треугольника лежит на гипотенузе. Так что центр описанной около треугольника окружности
может лежать на стороне треугольника.

3) Верно. 

Дан треугольник со сторонами: √a, √b, √(a + b).

Проверим по теореме, обратной к теореме Пифагора.

Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других
сторон, то такой  треугольник
прямоугольный:

(√(a + b))² =  (√a)² + (√b)²

a + b
= a +
b. Верно.

Теорема обратная теореме Пифагора выполняется, следовательно, треугольник
прямоугольный.

4) Верно.
Существует треугольник, в котором любая из высот меньше любой из медиан?

Если
хотя бы один такой треугольник привести в пример, то ответ на вопрос – да,
существует. Приведу пример такого треугольника. Рассмотрим треугольник на приложенном
изображении. Один из углов у него – тупой, причём, величина близка к 180°.
Длины сторон – достаточно большие. Вот в таком треугольнике любая высота короче
любой медианы. В приложении «Живая геометрия» измерены длины высот и
медиан. Так что существование такого треугольника очевидно. Над геометрическим
доказательством этого факта  подумаю на досуге)))

Добавить свой ответ